Bài tập 8, § 2

Cho $G$ là một đại số định chuẩn đầy đủ với phần tử khả nghịch đơn vị $\mathbf{e}$ trên trường $\mathbf{R}$.

a) Cho $t \mapsto \mathbf{a}(t)$ là một hàm điều hòa trên một khoảng $J \subset \mathbf{R}$ với các giá trị trong $G$. Chứng minh rằng nghiệm nguyên $\mathbf{u}$ của phương trình tuyến tính $d\mathbf{x}/dt = \mathbf{a}(t)\mathbf{x}$ nhận giá trị $\mathbf{e}$ tại một điểm $t_0 \in J$ là khả nghịch trên $J$, và nghịch đảo của nó là nghiệm của phương trình $d\mathbf{x}/dt = -\mathbf{x}\mathbf{a}(t)$ (nếu $\mathbf{v}$ là nghiệm nguyên của phương trình sau cùng này nhận giá trị $\mathbf{e}$ tại điểm $t_0$, xét các phương trình tuyến tính thỏa mãn bởi $\mathbf{uv}$ và $\mathbf{vu}$). Suy ra rằng, với mọi $\mathbf{x}_0 \in G$, nghiệm nguyên của $d\mathbf{x}/dt = \mathbf{a}(t)\mathbf{x}$ nhận giá trị $\mathbf{x}_0$ tại điểm $t_0$ bằng $\mathbf{u}(t)\mathbf{x}_0$.

b) Cho $\mathbf{a}(t), \mathbf{b}(t)$ là hai hàm điều hòa trên $J$, và $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là các nghiệm nguyên của các phương trình $d\mathbf{x}/dt = \mathbf{a}(t)\mathbf{x}, d\mathbf{x}/dt = \mathbf{x}\mathbf{b}(t)$ nhận giá trị $\mathbf{e}$ tại điểm $t_0$. Chứng minh rằng nghiệm nguyên của phương trình $d\mathbf{x}/dt = \mathbf{a}(t)\mathbf{x} + \mathbf{x}\mathbf{b}(t)$ nhận giá trị $\mathbf{x}_0$ tại điểm $t_0$ bằng $\mathbf{u}(t)\mathbf{x}_0 \mathbf{v}(t)$.

c) Cho $\mathbf{a}(t), \mathbf{b}(t), \mathbf{c}(t), \mathbf{d}(t)$ là bốn hàm điều hòa trên $J$, và $(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ là một nghiệm của hệ hai phương trình tuyến tính

Chứng minh rằng, nếu $v$ khả nghịch trên $J$, thì $w = uv^{-1}$ là một nghiệm nguyên của phương trình $d\mathbf{z}/dt = \mathbf{b}(t) + \mathbf{a}(t)\mathbf{z} - \mathbf{z}\mathbf{d}(t) - \mathbf{z}\mathbf{c}(t)\mathbf{z}$ (``phương trình Ricatti''); và ngược lại. Suy ra rằng mọi nghiệm nguyên của phương trình sau cùng này trên $J$, nhận giá trị $x_0$ tại điểm $t_0$, có dạng $(A(t)x_0 + B(t)e)(C(t)x_0 + D(t)e)^{-1}$, trong đó $A(t)$, $B(t)$, $C(t)$ và $D(t)$ là các ánh xạ liên tục từ $J$ vào $\mathscr{L}(E)$ thỏa mãn đồng nhất thức $U.(xy) = (U.x)y$.

d) Cho $w_1$ là một nghiệm của $d\mathbf{z}/dt = \mathbf{b}(t) + \mathbf{a}(t)\mathbf{z} - \mathbf{z}\mathbf{d}(t) - \mathbf{z}\mathbf{c}(t)\mathbf{z}$ trên $J$; hãy chứng minh rằng nếu $w$ là một nghiệm khác của phương trình này sao cho $w - w_1$ khả nghịch trên $J$ thì $w - w_1$ có thể được biểu diễn theo các nghiệm của các phương trình $d\mathbf{x}/dt = -(d + cw_1)\mathbf{x}$ và $d\mathbf{x}/dt = \mathbf{x}(\mathbf{a} - w_1\mathbf{c})$ (xét phương trình thỏa mãn bởi $(w - w_1)^{-1}$, và sử dụng $b$) ).