Exercice 1, Annexe 0

Soit $\mathfrak{R}$ un corps de Hardy tel que, pour toute fonction $f \in \mathfrak{R}$ non identiquement nulle au voisinage de $+\infty$, il existe $\lambda > 0$ tel que

(m entier indépendant de $f$). a) Soient $u_1, u_2, \ldots, u_p$ fonctions de la forme $u_k = \log|z_k|$, où $z_k \in \mathbf{R}$ n’est pas nulle dans un voisinage de $+\infty$. Montrer que pour toute fonction $g$ (non nulle dans un voisinage de $+\infty$) du corps de Hardy $\mathfrak{R}(u_1, \ldots, u_p)$ obtenu par adjonction à $\mathfrak{R}$ des fonctions $u_k$ ($1 \leq k \leq p$), il existe $\mu > 0$ tel que (se ramener au cas où $g$ est un polynôme par rapport aux $u_k$, à coefficients dans $\mathbf{R}$, et raisonner par récurrence sur $p$, puis, pour $p = 1$, raisonner par récurrence sur le degré du polynôme $g$ en procédant comme dans le lemme 2 de V, p. 37). b) Soient $u_k$ ($1 \leq k \leq p$) $p$ fonctions de la forme $u_k = \exp(z_k)$ où $z_k \in \mathbf{R}$. Montrer que pour toute fonction g du corps de Hardy $H(u_1, \ldots, u_p)$, non identiquement nulle au voisinage de $+\infty$, il existe un nombre $\mu > 0$ tel que (méthode analogue).

c) En déduire que si f est une fonction (H) admettant une suite de définition de n termes, et non identiquement nulle dans un voisinage de $+\infty$, il existe un nombre $\lambda > 0$ tel que