Bài tập 1, Phụ lục 0

Cho $\mathscr{K}$ là một trường Hardy sao cho, đối với mọi hàm $f \in \mathscr{K}$ không đồng nhất bằng không trên một lân cận của $+\infty$, tồn tại một $\lambda > 0$ sao cho

(m là một số nguyên độc lập với $f$).

a) Cho $u_1, u_2, \ldots, u_p$ là $p$ hàm có dạng $u_k = \log |z_k|$, trong đó $z_k \in \mathscr{K}$ không bằng không trên một lân cận của $+\infty$. Chứng minh rằng đối với mọi hàm $g$ (không bằng không trên một lân cận của $+\infty$) của trường Hardy $\mathscr{K}(u_1, u_2, \ldots, u_p)$ thu được bằng cách ghép thêm các hàm $u_k$ ($1 \leq k \leq p$) vào $\mathscr{K}$, tồn tại một số $\mu > 0$ sao cho

(rút gọn về trường hợp $g$ là một đa thức theo các $u_k$ với các hệ số trong $\mathscr{K}$ và lập luận bằng quy nạp theo $p$, sau đó, với $p = 1$, lập luận bằng quy nạp theo bậc của đa thức $g$, tiến hành như trong bổ đề 2 của V, p. 248).

b) Cho $u_k$ ($1 \leq k \leq p$) là $p$ hàm có dạng $u_k = \exp(z_k)$ trong đó $z_k \in \mathscr{K}$. Chứng minh rằng đối với mọi hàm $g$ của trường Hardy $\mathscr{K}(u_1, u_2, \ldots, u_p)$ không đồng nhất bằng không trên một lân cận của $+\infty$, tồn tại một số $\mu > 0$ sao cho

(phương pháp tương tự).

c) Suy ra rằng nếu $f$ là một hàm (H) có một dãy định nghĩa với $n$ số hạng, và không đồng nhất bằng không trên một lân cận của $+\infty$, thì tồn tại một số $\lambda > 0$ sao cho