Exercice 13, Annexe 0

Fonctions d’une variable réelle, V, p. 54

Soit $f$ une fonction (H) telle que $1 \ll f(x) \ll x$ . Montrer que, dans la formule de Taylor

f(x + f(x)) = f(x) + f(x)f'(x) + \frac{1}{2!} (f(x))^2 f''(x) + \cdots +

+ \frac{1}{n!} f(x)^n f^{(n)}(x) + \frac{1}{(n+1)!} (f(x))^{n+1} f^{(n+1)}(x + \theta f(x))

avec

0 < \theta < 1

(I, p. 47, exerc. 9), chaque terme est négligeable devant le précédent. Si

f

est d’ordre

< 1

par rapport à

x

, le dernier terme de cette somme tend vers 0 avec

1/x

dès que

n

est assez grand.

Solution

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