Exercice 15, Annexe 0

Soit $f$ une fonction (H) convexe au voisinage de $+\infty$, telle que $f(x) \gg x$. Pour tout $\alpha > 0$, soit $x_\alpha$ le point tel que $f'(x_\alpha) = (1 + \alpha) f'(x)$. a) Si $f$ est d’ordre $+\infty$ par rapport à $x$, montrer que l’on a

(utiliser les prop. 2 (V, p. 40) et 4 (V, p. 44), en appliquant la formule de Taylor à $\log f'(x)$). Montrer que $(f(x)_\alpha - (x_\alpha - x)f'(x_\alpha))/f'(x)$ tend vers $(1 + \alpha)(1 - \log(1 + \alpha))$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. b) Si $f$ est d’ordre $r > 1$ par rapport à $x$, montrer que (remarquer que si $f_1$ est d’ordre 0 par rapport à $x$, on a $f_1(kx) \sim f_1(x)$ pour toute constante $k$, en vertu de la prop. 4 de V, p. 40). En déduire que $(f(x_\alpha) - (x_\alpha - x)f'(x_\alpha))/f'(x)$ tend vers lorsque $x$ tend vers $+\infty$. c) On suppose enfin que $f$ soit d’ordre 1 par rapport à $x$. En posant $f(x) = x f_1(x)$, montrer que (considérer la fonction réciproque de $f_1$, qui est d’ordre $+\infty$ par rapport à $x$). En déduire que $(f(x_\alpha) - (x_\alpha - x)f'(x_\alpha))/f'(x)$ tend vers $-\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Soit de même $x'_\alpha$ le point tel que $f'(x'_\alpha) = (1 - \alpha)f'(x)$ (pour $0 < \alpha < 1$). Donner les formules analogues aux précédentes exprimant la partie principale de $x - x'_a$ et la limite de lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Conclure de ces résultats que $f$ est une fonction régulièrement convexe au voisinage de $+\infty$ (V, p. 49, exerc. 5).