Bài tập 15, Phụ lục 0

Cho $f$ là một hàm (H), lồi trên một lân cận của $+\infty$, sao cho $f(x) \gg x$. Với mọi $\alpha > 0$, cho $x_\alpha$ là điểm sao cho $f'(x_\alpha) = (1 + \alpha) f'(x)$.

a) Nếu $f$ có cấp $+\infty$ đối với $x$, hãy chứng minh rằng

(áp dụng Mệnh đề 2 (V, p. 251) và 4 (V, p. 255), áp dụng công thức Taylor cho $\log f'(x)$). Hãy chứng minh rằng $\left( f(x_\alpha) - (x_\alpha - x)f'(x_\alpha) \right)/f(x)$ tiến tới $(1 + \alpha)(1 - \log(1 + \alpha))$ khi $x$ tiến tới $+\infty$.

b) Nếu $f$ có cấp $r > 1$ đối với $x$, hãy chứng minh rằng

(nhận xét rằng nếu $f_1$ có cấp 0 đối với $x$ thì ta có $f_1(kx) \sim f_1(x)$ với mọi hằng $k$, theo Mệnh đề 4 của V, p. 255). Suy ra rằng $\left( f(x_\alpha) - (x_\alpha - x)f'(x_\alpha) \right)/f(x)$ tiến tới khi $x$ tiến tới $+\infty$.

c) Cuối cùng, giả sử rằng $f$ có cấp 1 đối với $x$. Đặt $f(x) = x f_1(x)$, hãy chứng minh rằng

(xét hàm nghịch đảo của $f_1$, hàm này có cấp $+\infty$ đối với $x$). Suy ra rằng $\left( f(x_\alpha) - (x_\alpha - x)f'(x_\alpha) \right)/f(x)$ tiến tới $-\infty$ khi $x$ tiến tới $+\infty$.

Tương tự, cho $x_\alpha'$ là điểm sao cho $f'(x_\alpha') = (1 - \alpha)f'(x)$ (với $0 < \alpha < 1$). Hãy phát biểu các công thức tương tự với các công thức trước, biểu diễn phần chính của $x - x_\alpha'$ và giới hạn của

khi $x$ tiến tới $+\infty$.

Kết luận từ các kết quả này rằng $f$ là một hàm lồi đều đặn trên một lân cận của $+\infty$ (V, p. 260, Bài tập 5).