Exercice 2, Annexe 0

a) Montrer que toute fonction (H) possédant une suite de définition d’un seul terme est équivalente à une fonction de l’une des formes $x^p (\log x)^q$, ou $x^{p e^{g(x)}}$, où $p$ et $q$ sont des entiers rationnels, et $g$ un polynôme en $x$ (méthode de l’exerc. 1).

b) Déduire de a) que toute fonction du corps de Hardy $\mathbf{R}(x, u_1, \ldots, u_p)$, où $u_1, \ldots, u_p$ sont des fonctions (H) ayant une suite de définition d’un seul terme, est équivalente à une fonction de la forme $x^p (\log x)^q e^{g(x)}$ où $p$ et $q$ sont des entiers rationnels, et $g$ un polynôme en $x$.