Exercice 2, § 4

Soit $(p_n)$ une suite croissante de nombres $> 0$, tendant vers $+\infty$. a) Si le rapport $p_n / p_{n-1}$ tend vers 1 lorsque $n$ croît indéfiniment, montrer que l’on a

(appliquer la prop. 2 de V, p. 27). b) Sans hypothèse sur le rapport $p_n / p_{n-1}$, montrer que la série de terme général $(p_n - p_{n-1}) / p_n$ a toujours une somme infinie (distinguer deux cas suivant que $p_n / p_{n-1}$ tend ou non vers 1). c) Montrer que, pour $p > 0$, la série de terme général $(p_n - p_{n-1}) / p_n p_{n-1}^p$ est convergente (comparer à la série de terme général $\frac{1}{p_{n-1}^p} - \frac{1}{p_n^p}$).