Bài tập 2, § 4

Cho $(p_n)$ là một dãy tăng các số $> 0$ tiến tới $+\infty$.

a) Nếu tỉ số $p_n / p_{n-1}$ tiến tới 1 khi $n$ tăng vô hạn, hãy chỉ ra rằng

(áp dụng mệnh đề 2 của V, p. 237).

b) Không có giả thiết về tỉ số $p_n / p_{n-1}$, hãy chỉ ra rằng chuỗi có số hạng tổng quát $(p_n - p_{n-1}) / p_n$ luôn có một tổng vô hạn (phân biệt hai trường hợp tùy theo việc $p_n / p_{n-1}$ có tiến tới 1 hay không).

c) Hãy chỉ ra rằng với mọi $\rho > 0$ chuỗi có số hạng tổng quát $(p_n - p_{n-1}) / p_n p_{n-1}^\rho$ hội tụ (so sánh với chuỗi có số hạng tổng quát $\frac{1}{p_{n-1}^\rho} - \frac{1}{p_n^\rho}$).