Exercice 7, § 4

Fonctions d’une variable réelle, V, p. 50

Soit $(u_n)$ une série convergente à termes $> 0$ . a) Montrer que

\lim_{n \to \infty} \frac{u_1 + 2u_2 + \cdots + nu_n}{n} = 0.

b) Montrer que

\sum_{n=1}^\infty \frac{u_1 + 2u_2 + \cdots + nu_n}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^\infty u_n

(écrire

\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

). c) Déduire de a) et b), que l’on a

\lim_{n \to \infty} n(u_1 u_2 \ldots u_n)^{1/n} = 0

\sum_{n=1}^\infty \frac{(n! u_1 u_2 \ldots u_n)^{1/n}}{n+1} < \sum_{n=1}^\infty u_n

(appliquer l’inégalité (8) de III, p. 3).

Solution

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