Bourbaki

Bài tập 7, § 4

Hàm số một biến thực, V, p. 50

Cho (un)(u_n) là một chuỗi hội tụ với các số hạng >0> 0. a) Bây giờ chứng minh rằng

lim⁡n→∞u1+2u2+⋯+nunn=0. \lim_{n \to \infty} \frac{u_1 + 2u_2 + \cdots + nu_n}{n} = 0.
b) Bây giờ chứng minh rằng
∑n=1∞u1+2u2+⋯+nunn(n+1)=∑n=1∞un \sum_{n=1}^\infty \frac{u_1 + 2u_2 + \cdots + nu_n}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^\infty u_n
(viết 1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}). c) Suy ra từ a) và b) rằng ta có
lim⁡n→∞n(u1u2…un)1/n=0 \lim_{n \to \infty} n(u_1 u_2 \ldots u_n)^{1/n} = 0
và
∑n=1∞(n!u1u2…un)1/nn+1<∑n=1∞un \sum_{n=1}^\infty \frac{(n! u_1 u_2 \ldots u_n)^{1/n}}{n+1} < \sum_{n=1}^\infty u_n
(áp dụng bất đẳng thức (8) của III, p. 3).

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.

Bản dịch máy từ tiếng Anh, bởi gpt-5-6-mini. Chưa được người kiểm tra. Mô hình này là bản rút gọn của mô hình đã viết phần còn lại của ngôn ngữ này.