Exercice 2, § 1

Soit E l’espace vectoriel sur C engendré par les fonctions x^n (n \in \mathbf{N}), e^{\lambda x} (\lambda \in \mathbf{C}, \lambda \neq 0) et |x + \mu| (\mu \in \mathbf{R}).

a) Montrer que les fonctions précédentes forment une base de E.

b) Soit U l’opérateur de composition défini dans E par les conditions: U_0^s(\xi^n) = (n!)^2, U(e^{\lambda x}) = e^{\lambda x} pour \lambda \neq 0, U(|x + \mu|) = |x + \mu| pour \mu \in \mathbf{R}. L’indicatrice u(\lambda) est la constante 1, mais la série de terme général n!|\lambda^n| n’est convergente pour aucune valeur \lambda \neq 0.

c) Soit V l’opérateur de composition défini dans E par les conditions V(x^n) = x^n, V(|x + \mu|) = |x + \mu|, V(e^{\lambda x}) = 0 pour \lambda \neq 0; l’indicatrice v(\lambda) est égale à 1 pour \lambda = 0, à 0 pour \lambda \neq 0, et est donc distincte de la somme de la série \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n \lambda^n, où \alpha_n = V_0^s(\xi^n).

d) Soit W l’opérateur de composition défini dans E par

montrer que l’on a VW \neq WV.