Bài tập 2, § 1

Cho E là không gian vectơ trên C sinh bởi các hàm $x^n \ (n \in \mathbf{N})$, $e^{\lambda x} \ (\lambda \in \mathbf{C}, \lambda \neq 0)$ và $|x+\mu| \ (\mu \in \mathbf{R})$.

a) Chứng minh rằng các hàm trên tạo thành một cơ sở của E.

b) Cho U là toán tử hợp thành xác định trên E bởi các điều kiện: $U_0^\xi(\xi^n) = (n!)^2$, $U(e^{\lambda x}) = e^{\lambda x}$ với $\lambda \neq 0$, $U(|x+\mu|) = |x+\mu|$ với $\mu \in \mathbf{R}$. Hàm chỉ số $u(\lambda)$ là hằng 1 nhưng chuỗi có số hạng tổng quát $n! \lambda^n$ không hội tụ với mọi giá trị $\lambda \neq 0$.

c) Cho V là toán tử hợp thành xác định trên E bởi các điều kiện $V(x^n) = x^n$, $V(|x+\mu|) = |x+\mu|$, $V(e^{\lambda x}) = 0$ với $\lambda \neq 0$; hàm chỉ số $v(\lambda)$ bằng 1 với $\lambda = 0$, bằng 0 với $\lambda \neq 0$, do đó khác với tổng của chuỗi $\sum_{n=0}^\infty \alpha_n \lambda^n$ trong đó $\alpha_n = V_0^\xi(\xi^n)/n!$.

d) Cho W là toán tử hợp thành xác định trên E bởi

chứng minh rằng $VW \neq WV$.