Exercice 3, § 1

Soit K un corps de caractéristique 0. On dit qu’un endomorphisme U de l’algèbre K[X, Y] des polynômes à deux indéterminées X, Y sur K est un opérateur de composition si, pour tout polynôme f \in K[X, Y], on a, en posant g = U(f), g(X + S, Y + T) = U_{X,Y}(f(X + S, Y + T)), S et T étant deux autres indéterminées.

a) Généraliser à ces opérateurs la prop. 1 et le th. 1. En déduire une nouvelle démonstration de la formule e^{S+T} = e^S e^T.

b) Pour les opérateurs de composition de la forme D_X^a D_Y^b u(D_X, D_Y), où le terme constant de la série formelle u n’est pas nul, définir les polynômes d’Appell u_{mn}, et généraliser les prop. 4, 5 et 6 de VI, p. 5 et 6.

c) On considère en particulier l’opérateur de composition U défini par U(f(X, Y)) = f(X + 1, Y + 1) - f(X, Y + 1) - f(X + 1, Y) + f(X, Y); on appelle polynômes de Bernoulli et on note B_{m,n} les polynômes d’Appell correspondant à cet opérateur. Montrer que l’on a B_{m,n}(X, Y) = B_m(X)B_n(Y).