Bài tập 3, § 1

Cho K là một trường có đặc số 0. Ta nói rằng một tự đồng cấu U của đại số K[X,Y] của các đa thức theo hai bất định X, Y trên K là một toán tử hợp thành nếu, với mọi đa thức $f \in K[X, Y]$, ta có, đặt $g = U(f)$, rằng $g(X+S, Y+T) = U_{X,Y}(f(X+S, Y+T))$, trong đó S và T là hai bất định khác.

a) Tổng quát hóa mệnh đề 1 và định lý 1 cho các toán tử này. Suy ra từ đó một chứng minh mới của công thức $e^{S+T} = e^S e^T$.

Đối với các toán tử hợp thành có dạng $D_X^p D_Y^q u(D_X, D_Y)$ trong đó số hạng hằng của chuỗi hình thức $u$ khác không, hãy định nghĩa các đa thức Appell $u_{mn}$ và tổng quát hóa các mệnh đề 4, 5 và 6 của VI, p. 273 và 274.

Xét riêng toán tử hợp thành $U$ được định nghĩa bởi $U(f(X, Y)) = f(X + Y + 1) - f(X, Y + 1) - f(X + 1, Y) + f(X, Y)$; các đa thức Appell tương ứng với toán tử này được gọi là các đa thức Bernoulli và được ký hiệu bởi $B_{m,n}$. Chứng minh rằng $u_{m,n}(X, Y) = B_m(X)B_n(Y)$.