Exercice 10, § 2

Avec les notations de l’exerc. 9, montrer que les nombres $m^n a_n = m^n(m^n - 1) b_n/n$ sont entiers (écrire $F_m(z)$ comme quotient de deux polynômes en $e^z$). En déduire que (pour $n$ pair $\geq 2$) le dénominateur $\delta_n$ de $b_n/n$ écrit sous forme de fraction irréductible est tel que, pour tout entier $m$ premier à $n$, on a $m^n \equiv 1 \pmod{\delta_n}$. En outre, si un entier $d$ est tel que $m^n \equiv 1 \pmod{d}$ pour tout entier $m$ premier à $n$, $d$ divise $\delta_n$ (utiliser le th. de Clausen-von Staudt et la structure du groupe multiplicatif de $\mathbf{Z}/d\mathbf{Z}$ (A, VII, § 2, n° 4)).