Exercice 13, § 2

Fonctions d’une variable réelle, VI, p. 25

Soient $f$ un entier $\geq 1$ , $\chi$ une fonction définie dans $\mathbf{Z}$ , à valeurs complexes, telle que $\chi(x + f) = \chi(x)$ pour tout $x \in \mathbf{Z}$ . Si l’on pose

\hat{\chi}(y) = \frac{1}{f} \sum_{x=0}^{f-1} \chi(x) e^{-2\pi i xy/f} \quad \text{pour } y \in \mathbf{Z},

on a

\chi(x) = \sum_{y=0}^{f-1} \hat{\chi}(y) e^{2\pi i xy/f} \quad \text{pour } x \in \mathbf{Z}.

Déduire de l’exerc. 12 que l’on a, pour tout entier $m \geq 2$ ,

\sum_{n \in \mathbf{Z} - \{0\}} \frac{\chi(n)}{n^m} = -\frac{(2\pi i)^m}{m!} \sum_{y=0}^{f-1} \hat{\chi}(y) B_m \left( \frac{y}{f} \right).

Par exemple, on a

1 - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3} + \cdots = \frac{\pi^3}{32}.

Solution

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