Exercice 7, § 2

On admettra que pour tout entier $a > 0$, il existe une infinité de nombres premiers dans l’ensemble des entiers $1 + ma$ ($m$ parcourant l’ensemble des entiers $\geq 1$; cas particulier du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet). a) Soit $n$ un entier $\geq 1$, et soit $s \geq 1$ un entier tel que $q = 1 + (2n + 1)! s$ soit premier; montrer que si $p$ est un nombre premier tel que $p - 1$ divise $2nq$, alors $p - 1$ divise nécessairement $2n$ (dans le cas contraire, on aurait $p - 1 = qd$ avec $d$ entier, et $p$ serait divisible par $d + 1$). b) Déduire de a) que pour tout entier $n > 0$, il existe une infinité d’entiers $m > n$ tels que $b_{2m} - b_{2n}$ soit un entier.*