Exercice 1, § 3

Fonctions d’une variable réelle, VI, p. 26

Montrer que, si $f^{(2p+1)}(t)$ est monotone dans l’intervalle $[x, x+n+1]$ , le reste $T_p(x,n)$ de la formule d’Euler–Maclaurin VI, p. 20, (formule (2)) a le même signe que le terme

\frac{1}{(2p+2)!} b_{2p+2} \left( f^{(2p+1)}(x+n+1) - f^{(2p+1)}(x) \right)

et a une valeur absolue au plus égale à celle de ce terme. Si on suppose que

f^{(2p+2)}

est continue (mais de signe quelconque), montrer que l’on a

|T_p(x,n)| \leq \frac{1}{(2p+2)!} |b_{2p+2}| \left| f^{(2p+1)}(x+n+1) - f^{(2p+1)}(x) \right| + \int_x^{x+n+1} |f^{(2p+2)}(t)| dt.

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