Bourbaki

Bài tập 1, § 3

Hàm số một biến thực, VI

Chứng minh rằng nếu f(2p+1)(t)f^{(2p+1)}(t) là đơn điệu trên khoảng [x,x+n+1][x, x+n+1] thì phần dư Tp(x,n)\mathrm{T}_p(x, n) trong công thức Euler-Maclaurin VI, p. 288 (công thức (2)) có cùng dấu với số hạng

1(2p+2)! b2p+2 (f(2p+1)(x+n+1)−f(2p+1)(x)) \frac{1}{(2p+2)!}\, b_{2p+2}\, \left( f^{(2p+1)}(x+n+1) - f^{(2p+1)}(x) \right)

và có giá trị tuyệt đối không vượt quá giá trị tuyệt đối của số hạng này.

Nếu giả sử rằng f(2p+2)f^{(2p+2)} liên tục (nhưng có dấu bất kỳ), chứng minh rằng ta có

∣Tp(x,n)∣⩽1(2p+2)!∣b2p+2∣(∣f(2p+1)(x+n+1)−f(2p+1)(x)∣+∫xx+n+1∣f(2p+2)(t)∣dt). \left| \mathrm{T}_p(x, n) \right| \leqslant \frac{1}{(2p+2)!} \left| b_{2p+2} \right| \left( \left| f^{(2p+1)}(x+n+1) - f^{(2p+1)}(x) \right| + \int_x^{x+n+1} \left| f^{(2p+2)}(t) \right| dt \right).
Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.

Bản dịch máy từ tiếng Anh, bởi gpt-5-6-mini. Chưa được người kiểm tra. Mô hình này là bản rút gọn của mô hình đã viết phần còn lại của ngôn ngữ này.