Exercice 3, § 3

Fonctions d’une variable réelle, VI, p. 26

Soit $f$ une fonction continue ainsi que ses $2p+1$ premières dérivées dans l’intervalle $[0,1]$ . Démontrer la formule

\int_0^1 f(t) \, dt = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{2} f(0) + f\left( \frac{1}{n} \right) + f\left( \frac{2}{n} \right) + \cdots + f\left( \frac{n-1}{n} \right) + \frac{1}{2} f(1) \right)

- \sum_{k=1}^{2p} \frac{b_{2k}}{(2k)!} \frac{1}{n^{2k}} (f^{(2k-1)}(1) - f^{(2k-1)}(0)) + R_p(n)

avec

|R_p(n)| \leq \frac{4 e^{2\pi}}{(2\pi)^{2p+1}} \frac{1}{n^{2p+1}} \int_0^1 |f^{(2p+1)}(t)| \, dt.

Solution

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