Exercice 6, § 1

Fonctions d’une variable réelle, VII, p. 20

Soit $\psi(x) = \Gamma'(x)/\Gamma(x)$ ; pour tout entier $q > 1$ et tout entier $k$ tel que $1 \leq k \leq q-1$ , démontrer les formules

\sum_{p=1}^q \psi\left(\frac{p}{q}\right) \exp\left(\frac{2pkn\pi i}{q}\right) = -q \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \exp\left(\frac{2nk\pi i}{q}\right) = q \log\left(1 - \exp\frac{2k\pi i}{q}\right).

(Utiliser la formule (9) de VII, p. 3.)

Solution

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