Exercice 5, § 2

Fonctions d’une variable réelle, VII, p. 21

Soit $x_n$ la racine de l’équation $\Gamma'(x) = 0$ appartenant à l’intervalle $]-n, -n+1[$ . Montrer que l’on a

x_n = -n + \frac{1}{\log n} + O\left( \frac{1}{(\log n)^2} \right)

(utiliser la relation des compléments et la formule (5) de VII, p. 12). En déduire que

\Gamma(x_n) \sim \frac{(-1)^n}{\sqrt{2\pi}} n^{-n-\frac{1}{2}} e^{n+1} \log n.

Solution

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