Exercice 11, § 1

Soient E un espace complètement réticulé, $(x_i)_{i \in I}$ une famille d’éléments de E. Pour toute partie finie H de I, on pose $s_H = \sum_{i \in H} x_i$; on dit que la famille $(x_i)_{i \in I}$ est sommable pour la structure d’ordre de E si l’application $H \mapsto s_H$ a une limite (pour cette structure d’ordre) suivant l’ensemble ordonné filtrant $\mathfrak{F}(I)$ des parties finies de I ; cette limite s est alors appelée la somme de la famille $(x_i)_{i \in I}$ et s’écrit $\sum_{i \in I} x_i$.

a) Pour qu’une famille $(x_i)_{i \in I}$ soit sommable, il faut et il suffit que : 1° pour toute partie finie H de I, l’ensemble des $|s_K|$, où K parcourt l’ensemble des parties finies de I ne rencontrant pas H, ait une borne supérieure $r_H$ dans E ; 2° l’on ait $\inf_H r_H = 0$ lorsque H parcourt $\mathfrak{F}(I)$ (utiliser l’exerc. 9 a)).

b) Généraliser aux familles sommables pour la structure d’ordre de E les propriétés des familles sommables dans les groupes commutatifs topologiques (Top. gén., chap. III, 3e éd., § 5, prop. 2 et 3 et th. 2).

c) Soit $(x_i)_{i \in I}$ une famille d’éléments $\geqslant 0$ de E; pour que cette famille soit sommable, il faut et il suffit que les sommes partielles finies $s_H$ forment un ensemble majoré (utiliser l’exerc. 9 b)). Si $(x_i)_{i \in I}$ est sommable, et si $(y_i)_{i \in I}$ est une famille d’éléments tels que $0 \leqslant y_i \leqslant x_i$ pour tout $i$, montrer que la famille $(y_i)$ est sommable et que l’on a $\sum_{i \in I} y_i \leqslant \sum_{i \in I} x_i$, l’égalité n’ayant lieu que si $x_i = y_i$ pour tout $i \in I$.

d) Soit $(x_i)$ une famille d’éléments de E; montrer que si la famille $(|x_i|)$ est sommable pour la structure d’ordre, il en est de même de la famille $(x_i)$.