Bài tập 11, § 1

Cho E là một không gian dàn có thứ tự đầy đủ, $(x_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ các phần tử của E. Với mọi tập con hữu hạn H của I, đặt $s_H = \sum_{\iota \in H} x_\iota$; họ $(x_\iota)_{\iota \in I}$ được gọi là khả tổng đối với cấu trúc cấp của E nếu ánh xạ $H \mapsto s_H$ có một giới hạn đối với cấu trúc cấp này, theo tập hợp có thứ tự có hướng $\mathfrak{F}(I)$ của các tập con hữu hạn của I; giới hạn này s khi đó được gọi là tổng của họ $(x_\iota)_{\iota \in I}$ và được ký hiệu $\sum_{\iota \in I} x_\iota$.

a) Để một họ $(x_\iota)_{\iota \in I}$ là khả tổng, điều kiện cần và đủ là: 1° với mọi tập con hữu hạn H của I, tập hợp các $|s_K|$, trong đó K chạy trên tập hợp các tập con hữu hạn của I không giao với H, có một cận trên đúng $r_H$ trong E; 2° $\inf_H r_H = 0$ khi H chạy trên $\mathfrak{F}(I)$ (sử dụng Bài tập 9 a)).

b) Hãy tổng quát hóa cho các họ khả tổng, đối với cấu trúc cấp của E, các tính chất của các họ khả tổng trong các nhóm tôpô giao hoán (GT, III, §5, Mệnh đề 2, 3 và Định lý 2).

c) Cho $(x_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ các phần tử $\geq 0$ của E; để họ này là khả tổng, điều kiện cần và đủ là tập hợp các tổng bộ phận hữu hạn $s_H$ bị chặn trên (sử dụng Bài tập 9 b)). Nếu $(x_\iota)_{\iota \in I}$ là khả tổng và nếu $(y_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ các phần tử sao cho $0 \leq y_\iota \leq x_\iota$ với mọi $\iota$, hãy chứng minh rằng họ $(y_\iota)$ là khả tổng và rằng $\sum_{\iota \in I} y_\iota \leq \sum_{\iota \in I} x_\iota$, với đẳng thức chỉ xảy ra nếu $x_\iota = y_\iota$ với mọi $\iota \in I$.

d) Cho $(x_\iota)$ là một họ các phần tử của E; chứng minh rằng nếu họ $(|x_\iota|)$ là khả tổng đối với cấu trúc cấp, thì họ $(x_\iota)$ cũng vậy.