Exercice 12, § 1

Soit E un espace complètement réticulé. Montrer qu’il existe une famille $(u_i)$ d’éléments $> 0$ de E telle que, pour deux indices distincts $i, \kappa, u_i$ et $u_\kappa$ soient étrangers, et que pour tout $x > 0$ dans E, il existe au moins un indice $i$ tel que $\inf(x, u_i) > 0$ (utiliser le th. de Zorn). En déduire que, pour tout $x \geqslant 0$, il existe une famille $(x_i)$ et une seule d’éléments $\geqslant 0$ de E telle que, pour tout $i$, $x_i$ appartienne à la bande $B_i$ engendrée par $u_i$, et que $x = \sum_i x_i$ pour la structure d’ordre de E (prendre pour $x_i$ le composant de $x$ dans la bande $B_i$). Inversement, toute famille majorée $(x_i)$ d’éléments $\geqslant 0$ de E telle que $x_i \in B_i$ pour tout $i$, est sommable dans E (exerc. 11).