Bài tập 12, § 1

Cho E là một không gian dàn có thứ tự đầy đủ. Chứng minh rằng tồn tại một họ $(u_\iota)$ gồm các phần tử $> 0$ của E sao cho $u_\iota$ và $u_\kappa$ rời nhau với mọi cặp chỉ số phân biệt $\iota, \kappa$, và sao cho với mọi $x > 0$ trong E tồn tại ít nhất một chỉ số $\iota$ sao cho $\inf(x, u_\iota) > 0$ (dùng bổ đề Zorn). Từ đó, suy ra rằng với mọi $x \geq 0$ tồn tại một và chỉ một họ $(x_\iota)$ gồm các phần tử $\geq 0$ của E sao cho, với mọi $\iota$, $x_\iota$ thuộc dải $B_\iota$ sinh bởi $u_\iota$, và sao cho $x = \sum_\iota x_\iota$ theo cấu trúc thứ tự của E (lấy $x_\iota$ là thành phần của $x$ trong dải $B_\iota$). Ngược lại, mọi họ $(x_\iota)$ gồm các phần tử $\geqslant 0$ của E bị chặn trên, sao cho $x_\iota \in B_\iota$ với mọi $\iota$, là tổng được trong E (Bài tập 11).

13 a) Cho E là một không gian dàn có thứ tự đầy đủ. Nếu $u \neq 0$ là một phần tử tùy ý của E, chứng minh rằng tập hợp các $x \in E$ sao cho tồn tại một số nguyên $n$ mà $|x| \leq n|u|$, là một không gian con tuyến tính $C_u$ vừa là một không gian con dàn có thứ tự đầy đủ vừa là một không gian con dàn đối (Bài tập 3) của E. Với mỗi $x \in C_u$, ký hiệu $\|x\|$ là cận dưới lớn nhất của các vô hướng $\lambda > 0$ sao cho $|x| \leq \lambda|u|$; chứng minh rằng $\|x\|$ là một chuẩn trên $C_u$ (sử dụng sự kiện E là Archimede (Bài tập 5)), rằng $C_u$, được trang bị chuẩn này, là đầy đủ, và rằng $\|x\| = \sup(\|x^+\|, \|x^-\|)$.

b) Gọi $\mathscr{J}$ là tập hợp các thành phần của $u$ trong các dải của không gian $C_u$; chứng minh rằng $\mathscr{J}$ là tập hợp các phần tử $c$ của $C_u$ sao cho $0 \leq c \leq u$ và $\inf(c, u - c) = 0$ (dùng định lý Riesz). Chứng minh rằng $\mathscr{J}$ là đóng trong không gian chuẩn hóa $C_u$ và rằng, đối với quan hệ thứ tự cảm sinh bởi quan hệ thứ tự của $C_u$, $\mathscr{J}$ là một đại số Boolean đầy đủ (S, III, §1, Bài tập 11 và 17;¹ chỉ cần chứng minh rằng nếu $(c_\iota)$ là một họ các phần tử của $\mathscr{J}$ thì $\sup_\iota c_\iota$ thuộc về $\mathscr{J}$.

c) Cho $x$ là một phần tử bất kỳ của $C_u$; với mỗi $\lambda \in \mathbf{R}$, gọi $c(\lambda)$ là thành phần của $u$ trong dải của $C_u$ sinh bởi $(\lambda u - x)^+$. Chứng minh rằng nếu $\lambda \leq \mu$ thì $c(\lambda) \leq c(\mu)$; $c(\lambda) = 0$ với $\lambda < -\|x\|$, và $c(\lambda) = u$ với $\lambda > \|x\|$. Chứng minh rằng nếu $c \in \mathscr{J}$ sao cho $c \leq c(\lambda)$, thì thành phần của $x$ trong dải sinh bởi $c$ là $\leq \lambda c$ (nhận thấy rằng các dải sinh bởi $c(\lambda)$ và bởi $(\lambda u - x)^+$ là đồng nhất, và thành phần của $\lambda u - x$ trong dải này bằng thành phần của $(\lambda u - x)^+$; từ đó, suy ra rằng thành phần của $x$ trong chính dải này là $\leq \lambda c(\lambda)$). Tương tự, chứng minh rằng nếu $c \in \mathscr{J}$ sao cho $c \leq u - c(\lambda)$, thì thành phần của $x$ trong dải sinh bởi $c$ là $\geq \lambda c$.

d) Ta biết (GT, II, §4, Exer. 12) rằng tồn tại một đẳng cấu cấu trúc có thứ tự $c \mapsto \theta_c$ của đại số Boolean $\mathscr{J}$ lên đại số Boolean tạo bởi các hàm đặc trưng của các tập hợp trong một không gian compact, hoàn toàn không liên thông S vừa mở vừa đóng. Chứng minh rằng quan hệ $\sum_i \lambda_i c_i = 0$ kéo theo rằng hàm $\sum_i \lambda_i \theta_{c_i}$ bằng 0 trên S (sử dụng bổ đề phân tích); suy ra từ nhận xét này và c) rằng ánh xạ $c \mapsto \theta_c$ có thể được mở rộng thành một đẳng cấu $x \mapsto \theta_x$ của không gian định chuẩn $C_u$ lên không gian định chuẩn $\mathscr{C}(S; \mathbf{R})$ gồm các hàm thực liên tục trên S, sao cho $(\theta_x)^+ = \theta_{x^+}$. (Với sự trợ giúp của c), chứng minh rằng với mọi $x \in C_u$ và mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một dãy tăng $(\lambda_i)_{0 \leq i \leq n}$ các số thực sao cho $\lambda_i - \lambda_{i-1} \leq \varepsilon$ và $0 \leq x - \sum_{i=1}^n \lambda_{i-1} (c(\lambda_{i-1}) - c(\lambda_i)) \leq \varepsilon u .$

e) Để S là hữu hạn, điều kiện cần và đủ là $C_u$ hữu hạn chiều; từ đó, suy ra (với sự trợ giúp của Exer. 12) rằng mọi không gian có thứ tự dàn đầy đủ hữu hạn chiều đều đẳng cấu với một không gian tích $\mathbf{R}^n$ (xem §2, Exer. 7).

f) Chứng minh rằng S là một không gian hoàn toàn không liên thông cực trị (GT, I, §11, Exer. 21) (sử dụng sự kiện rằng $\mathscr{J}$ là một đại số Boolean đầy đủ). Một không gian compact hoàn toàn không liên thông cực trị được gọi là một không gian Stone. Chứng minh rằng nếu X là một không gian Stone thì, với mọi hàm số nửa liên tục dưới $f$ trên X, phép chính quy hóa nửa liên tục trên $g$ của $f$ (GT, IV, §6, No. 2) là liên tục (với mọi $a < g(x)$ chứng minh rằng $x$ không thể thuộc bao đóng của tập hợp (mở) các $y$ sao cho $g(y) < a$, bằng cách nhận thấy rằng $f(z) \leq a$ tại một điểm $z$ trong bao đóng của tập hợp này). Từ đó, suy ra rằng $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ khi đó là một không gian có thứ tự dàn đầy đủ. Chứng minh rằng khi không gian Stone X là vô hạn, supremum trong $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ của một tập hợp bị chặn trên không nhất thiết bằng bao trên của nó (xét một tập hợp mở không đóng trong X); tuy nhiên, hai hàm này bằng nhau trên phần bù của một tập hợp thưa (xét tập hợp các điểm tại đó hiệu của chúng là $\geq 1/n$).

g) Cho X là một không gian Stone; chứng minh rằng nếu $f$ là một hàm có giá trị thực bị chặn, xác định trên phần bù của một tập hợp không trù mật M của X và liên tục trên $X - M$, thì

¹ Các thuật ngữ 'đại số Boolean' (GT, I, §6, Exer. 20) và 'dàn Boolean' (S, III, §1, Exer. 17) có cùng nghĩa (réseau booléien); tính đầy đủ có nghĩa là mọi tập con đều có một supremum và một infimum (S, III, §1, Exer. 11).

f có thể được mở rộng bởi tính liên tục ra toàn bộ X (hãy sử dụng sự kiện rằng $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ là được sắp thứ tự dàn đầy đủ). Từ đó, suy ra rằng tập hợp $\mathscr{Q}(X; \overline{\mathbf{R}})$, gồm các hàm số liên tục $f$ trên X (hữu hạn hoặc không) sao cho $f^{+1}(\infty)$ và $f^{-1}(-\infty)$ là không trù mật ở đâu trong X, là một không gian vectơ có thứ tự dàn đầy đủ.

h) Chứng minh rằng băng $B_u$ sinh bởi $u$ trong E là đẳng cấu (với tư cách là một không gian có thứ tự) với một không gian con cô lập (Bài tập 4) của $\mathscr{Q}(X; \overline{\mathbf{R}})$ (xem một phần tử $f \geq 0$ của $\mathscr{Q}(X; \overline{\mathbf{R}})$ như là cận trên đúng của các phần tử $\inf(f, n)$).

14) Cho E là một không gian Riesz, được trang bị một tôpô Hausdorff tương thích với cấu trúc không gian vectơ có thứ tự của E.

a) Cho K là một tập con compact của E, H là một tập con của K có hướng đối với quan hệ $\leq$; chứng minh rằng lọc tiết diện $\mathfrak{F}$ của H là hội tụ. (Trước hết chứng minh rằng tập hợp L các chặn trên của H thuộc K là khác rỗng và compact, sau đó chứng minh rằng tập hợp các điểm cụm của $\mathfrak{F}$ được chứa trong L, và cuối cùng chứng minh rằng không thể tồn tại hai điểm cụm phân biệt.)

b) Suy ra từ a) rằng nếu, trong E, mọi khoảng $[a, b]$ đều compact, thì E là có thứ tự dàn đầy đủ.