Exercice 13, § 1

a) Soit E un espace complètement réticulé. Si $u \neq 0$ est un élément quelconque de E, montrer que l’ensemble des $x \in E$ tels qu’il existe un entier $n$ pour lequel $|x| \leqslant n|u|$, est un sous-espace $C_u$ complètement réticulé et coréticulé (exerc. 3) de E. Pour tout $x \in C_u$, on désigne par $\|x\|$ la borne inférieure des scalaires $\lambda > 0$ tels que $|x| \leqslant \lambda|u|$; montrer que $\|x\|$ est une norme sur $C_u$ (utiliser le fait que E est archimédien (exerc. 5)), que, muni de cette norme, $C_u$ est complet, et que l’on a $\|x\| = \sup(\|x^+\|, \|x^-\|)$.

b) Soit $\mathscr{J}$ l’ensemble des composantes de $u$ sur les bandes de l’espace $C_u$; montrer que $\mathscr{J}$ est l’ensemble des éléments $c$ de $C_u$ tels que $0 \leqslant c \leqslant u$ et $\inf(c, u - c) = 0$ (utiliser le th. de Riesz). Montrer que $\mathscr{J}$ est fermé dans l’espace normé $C_u$ et que, pour la relation d’ordre induite par celle de $C_u$, $\mathscr{J}$ est un réseau booléien achevé (Ens., chap. III, 2e éd., § 1, exerc. 11 et 17; il suffit de montrer que, si $(c_i)$ est une famille d’éléments de $\mathscr{J}$, sup $c_i$ appartient à $\mathscr{J}$).

c) Soit $x$ un élément quelconque de $C_u$; pour tout $\lambda \in \mathbf{R}$, soit $c(\lambda)$ la composante de $u$ sur la bande de $C_u$ engendrée par $(\lambda u - x)^+$. Montrer que si $\lambda \leqslant \mu$, on a $c(\lambda) \leqslant c(\mu)$; pour $\hat{\lambda} < -\|x\|$, on a $c(\hat{\lambda}) = 0$, et pour $\lambda > \|x\|$, on a $c(\lambda) = u$. Montrer que si $c \in \mathscr{J}$ est tel que $c \leqslant c(\lambda)$, la composante de $x$ sur la bande engendrée par $c$ est $\leqslant \lambda c$ (remarquer que les bandes engendrées par $c(\lambda)$ et par $(\lambda u - x)^+$ sont identiques, et que la composante de $\lambda u - x$ sur cette bande est égale à celle de $(\lambda u - x)^+$; en déduire que la composante de $x$ sur cette même bande est $\leq \lambda c(\lambda)$). Montrer de même que si $c \in \mathscr{J}$ est tel que $c \leq u - c(\lambda)$, la composante de $x$ sur la bande engendrée par $c$ est $\geq \lambda c$.

$d$ ) On sait (Top. gén., chap. II, 3\textsuperscript{e} éd., § 4, exerc. 12) qu’il existe un isomorphisme de structure d’ordre $c \mapsto \theta_c$ du réseau booléien $\mathscr{J}$ sur le réseau booléien formé des fonctions caractéristiques des ensembles à la fois ouverts et fermés d’un espace compact totalement discontinu S. Montrer que la relation $\sum_i \lambda_i c_i = 0$ entraîne que la fonction $\sum_i \lambda_i \theta_{c_i}$ est nulle dans S (utiliser le lemme de décomposition); déduire de cette remarque et de $c$ que l’application $c \mapsto \theta_c$ se prolonge en un isomorphisme $x \mapsto \theta_x$ de l’espace normé $C_u$ sur l’espace normé $\mathscr{C}(S; \mathbf{R})$ des fonctions numériques (finies) continues dans S, de sorte que $(\theta_x)^+ = \theta_{x^+}$. (A l’aide de $c$), montrer que pour tout $x \in C_u$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe une suite croissante $(\lambda_i)_{0 \leq i \leq n}$ de nombres réels tels que $\lambda_i - \lambda_{i-1} \leq \varepsilon$ et que

$e$ ) Pour que S soit fini, il faut et il suffit que $C_u$ soit de dimension finie; en déduire (à l’aide de l’exerc. 12) que tout espace complètement réticulé de dimension finie est isomorphe à un espace produit $\mathbf{R}^n$ (cf. § 2, exerc. 7).

$f$ ) Montrer que S est un espace extrêmement discontinu (Top. gén., chap. I, 3\textsuperscript{e} éd., § 11, exerc. 21) (utiliser le fait que $\mathscr{J}$ est un réseau achevé). On appelle espace stonien un espace compact extrêmement discontinu. Montrer que si X est un espace stonien, pour toute fonction numérique $f$ semi-continue inférieurement dans X, la régularisée semi-continue supérieurement g de $f$ (Top. gén., chap. IV, 3\textsuperscript{e} éd., § 6, n° 2) est continue (pour tout $a < g(x)$, montrer que $x$ ne peut être adhérent à l’ensemble (ouvert) des $y$ tels que $g(y) < a$, en remarquant qu’en un point $z$ adhérent à cet ensemble, on a $f(z) \leq a$). En déduire que $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ est alors un espace complètement réticulé. Montrer que lorsque l’espace stonien X est infini, la borne supérieure dans $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ d’un ensemble majoré n’est pas nécessairement égale à son enveloppe supérieure (considérer un ensemble ouvert non fermé dans X); toutefois ces deux fonctions sont égales dans le complémentaire d’un ensemble maigre (considérer l’ensemble des points où leur différence est $\geq 1/n$).

$g$ ) Soit X un espace stonien; montrer que si $f$ est une fonction numérique bornée, définie dans le complémentaire d’une partie rare M de X, et continue dans $X - M$, alors $f$ se prolonge par continuité dans X tout entier (utiliser le fait que $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ est complètement réticulé). En déduire que l’ensemble $\mathscr{Q}(X; \overline{\mathbf{R}})$ des fonctions numériques $f$ finies ou non, continues dans X, et telles que $f^1(+\infty)$ et $f^1(-\infty)$ soient rares dans X est un espace vectoriel complètement réticulé.

$h$ ) Montrer que la bande $B_u$ engendrée par $u$ dans E est isomorphe (en tant qu’espace ordonné) à un sous-espace isolé (exerc. 4) de $\mathscr{Q}(X; \overline{\mathbf{R}})$ (considérer un élément $f \geq 0$ de $\mathscr{Q}(X; \overline{\mathbf{R}})$ comme borne supérieure des éléments $\inf(f, n)$).