Bài tập 13, § 1

(a) Cho E là một không gian reticulat đầy đủ. Nếu $u \neq 0$ là một phần tử tùy ý của E, bây giờ chứng minh rằng tập hợp các $x \in E$ sao cho tồn tại một số nguyên $n$ mà $|x| \leqslant n|u|$, là một không gian con reticulat đầy đủ và coreticulat $C_u$ (bài tập 3) của E. Với mọi $x \in C_u$, ký hiệu $\|x\|$ là cận dưới lớn nhất của các vô hướng $\lambda > 0$ sao cho $|x| \leqslant \lambda|u|$; bây giờ chứng minh rằng $\|x\|$ là một chuẩn trên $C_u$ (sử dụng sự kiện rằng E là Archimedean (bài tập 5)), rằng, được trang bị chuẩn này, $C_u$ là đầy đủ, và rằng ta có $\|x\| = \sup(\|x^+\|, \|x^-\|)$.

(b) Cho $\mathscr{J}$ là tập hợp các thành phần của $u$ trên các băng của không gian $C_u$; bây giờ chứng minh rằng $\mathscr{J}$ là tập hợp các phần tử $c$ của $C_u$ sao cho $0 \leqslant c \leqslant u$ và $\inf(c, u - c) = 0$ (sử dụng định lý Riesz). Bây giờ chứng minh rằng $\mathscr{J}$ là đóng trong không gian có chuẩn $C_u$ và rằng, đối với quan hệ thứ tự cảm sinh bởi quan hệ thứ tự của $C_u$, $\mathscr{J}$ là một dàn Boolean đầy đủ (Ens., chap. III, 2nd ed., § 1, bài tập 11 và 17; chỉ cần chứng minh rằng, nếu $(c_i)$ là một họ các phần tử của $\mathscr{J}$, sup $c_i$ thuộc về $\mathscr{J}$).

(c) Cho $x$ là một phần tử tùy ý của $C_u$; với mỗi $\lambda \in \mathbf{R}$, cho $c(\lambda)$ là thành phần của $u$ trên băng của $C_u$ sinh bởi $(\lambda u - x)^+$. Bây giờ chứng minh rằng nếu $\lambda \leqslant \mu$, thì có $c(\lambda) \leqslant c(\mu)$; với $\hat{\lambda} < -\|x\|$, có $c(\hat{\lambda}) = 0$, và với $\lambda > \|x\|$, có $c(\lambda) = u$. Bây giờ chứng minh rằng nếu $c \in \mathscr{J}$ sao cho $c \leqslant c(\lambda)$, thành phần của $x$ trên băng sinh bởi $c$ là $\leqslant \lambda c$ (chú ý rằng các băng sinh bởi $c(\lambda)$ và bởi $(\lambda u - x)^+$ là đồng nhất, và rằng thành phần của $\lambda u - x$ trên băng này bằng thành phần của $(\lambda u - x)^+$; suy ra rằng thành phần của $x$ trên cùng băng này là $\leq \lambda c(\lambda)$). Chứng minh tương tự rằng nếu $c \in \mathscr{J}$ sao cho $c \leq u - c(\lambda)$, thành phần của $x$ trên băng sinh bởi $c$ là $\geq \lambda c$.

$d$ ) Ta biết (Top. gén., Chap. II, 3\textsuperscript{e} ed., § 4, Bài tập 12) rằng tồn tại một đẳng cấu của cấu trúc có thứ tự $c \mapsto \theta_c$ của dàn Boolean $\mathscr{J}$ lên dàn Boolean được tạo thành bởi các hàm đặc trưng của các tập vừa mở vừa đóng trong một không gian compact hoàn toàn không liên thông S. Hãy chỉ ra rằng quan hệ $\sum_i \lambda_i c_i = 0$ kéo theo rằng hàm $\sum_i \lambda_i \theta_{c_i}$ bằng không trên S (dùng bổ đề phân tích); suy ra từ nhận xét này và từ $c$ rằng ánh xạ $c \mapsto \theta_c$ mở rộng thành một đẳng cấu $x \mapsto \theta_x$ của không gian định chuẩn $C_u$ lên không gian định chuẩn $\mathscr{C}(S; \mathbf{R})$ của các hàm số liên tục hữu hạn trong S, sao cho $(\theta_x)^+ = \theta_{x^+}$. (Với sự trợ giúp của $c$), hãy chỉ ra rằng với mọi $x \in C_u$ và mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một dãy tăng $(\lambda_i)_{0 \leq i \leq n}$ các số thực sao cho $\lambda_i - \lambda_{i-1} \leq \varepsilon$ và

$e$ ) Để S hữu hạn, điều kiện cần và đủ là $C_u$ có số chiều hữu hạn; suy ra từ điều này (với sự trợ giúp của Bài tập 12) rằng mọi không gian có dàn đầy đủ có số chiều hữu hạn đều đẳng cấu với một không gian tích $\mathbf{R}^n$ (xem § 2, Bài tập 7).

$f$ ) Hãy chỉ ra rằng S là một không gian hoàn toàn không liên thông (Top. gén., Chap. I, 3\textsuperscript{e} ed., § 11, Bài tập 21) (dùng sự kiện rằng $\mathscr{J}$ là một dàn đầy đủ). Một không gian compact hoàn toàn không liên thông được gọi là một không gian stonian. Hãy chỉ ra rằng nếu X là một không gian stonian, thì với mọi hàm số $f$ nửa liên tục dưới trong X, phép chính quy hóa nửa liên tục trên g của $f$ (Top. gén., Chap. IV, 3\textsuperscript{e} ed., § 6, No. 2) là liên tục (với mọi $a < g(x)$, hãy chỉ ra rằng $x$ không thể là điểm dính của tập hợp (mở) các $y$ sao cho $g(y) < a$, bằng cách nhận thấy rằng tại một điểm $z$ dính với tập hợp này, ta có $f(z) \leq a$). Suy ra rằng $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ khi đó là một không gian có dàn đầy đủ. Hãy chỉ ra rằng khi không gian stonian X là vô hạn, cận trên trong $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ của một tập bị chặn trên không nhất thiết bằng bao trên của nó (xét một tập mở không đóng trong X); tuy nhiên hai hàm này bằng nhau trên phần bù của một tập không đâu trù mật (xét tập hợp các điểm tại đó hiệu của chúng là $\geq 1/n$).

$g$ ) Cho X là một không gian stonian; hãy chỉ ra rằng nếu $f$ là một hàm số bị chặn, xác định trong phần bù của một tập hợp hiếm M của X, và liên tục trong $X - M$, thì $f$ mở rộng được bằng tính liên tục đến toàn bộ X (dùng sự kiện rằng $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ là đầy đủ theo dàn). Suy ra rằng tập hợp $\mathscr{Q}(X; \overline{\mathbf{R}})$ gồm các hàm số $f$ hữu hạn hoặc không, liên tục trong X, và sao cho $f^1(+\infty)$ và $f^1(-\infty)$ là hiếm trong X là một không gian vectơ có dàn đầy đủ.

$h$ ) Hãy chỉ ra rằng dải $B_u$ sinh bởi $u$ trong E đẳng cấu (với tư cách là một không gian có thứ tự) với một không gian con cô lập (Bài tập 4) của $\mathscr{Q}(X; \overline{\mathbf{R}})$ (xét một phần tử $f \geq 0$ của $\mathscr{Q}(X; \overline{\mathbf{R}})$ như là cận trên của các phần tử $\inf(f, n)$).