Exercice 3, § 1

a) Soient E un espace de Riesz, H un sous-espace vectoriel de E. On dit que H est un sous-espace coréticulé de E si, quels que soient les éléments $x, y$ de H, $\sup(x, y)$ appartient à H. Pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que la relation $x \in H$ entraîne $|x| \in H$.

b) Soient I un intervalle compact de $\mathbf{R}$, H le sous-espace de $\mathbf{R}^I$ formé des restrictions à I des polynômes du premier degré $t \mapsto \alpha t + \beta$. Montrer que H n’est pas un sous-espace coréticulé de $\mathbf{R}^I$, mais que H est un espace de Riesz (pour la structure induite par celle de $\mathbf{R}^I$).