Exercice 9, § 1

Soit E un espace complètement réticulé. On dit qu’un filtre $\mathscr{P}$ sur E est majoré (resp. minoré, borné) s’il existe dans $\mathscr{P}$ un ensemble majoré (resp. minoré, borné). Pour un filtre majoré (resp. minoré) $\mathscr{P}$, on appelle limite supérieure (resp. limite inférieure) de $\mathscr{P}$, et l’on note lim.sup $\mathscr{P}$ (resp. lim.inf $\mathscr{P}$) l’élément inf(sup X) (resp. sup(inf X)) de E, où X parcourt l’ensemble des ensembles majorés (resp. minorés) de $\mathscr{P}$. Si $\mathscr{P}$ est borné, on a lim.inf $\mathscr{P}$ ≤ lim.sup $\mathscr{P}$; on dit que $\mathscr{P}$ a une limite ou est convergent pour la structure d’ordre de E, si lim.sup $\mathscr{P}$ = lim.inf $\mathscr{P}$; la valeur commune de ces deux éléments se note alors lim $\mathscr{P}$, et on dit que $\mathscr{P}$ converge vers cet élément de E. Si un filtre borné a une limite, tout filtre plus fin a la même limite (pour la structure d’ordre).

a) Pour qu’un filtre borné $\mathscr{P}$ ait une limite pour la structure d’ordre, il faut et il suffit que inf(sup X − inf X) = 0 lorsque X parcourt l’ensemble des ensembles bornés appartenant à $\mathscr{P}$ (on pourra utiliser le fait que si, dans E, (x_α) et (y_α) sont deux familles décroissantes minorées ayant même ensemble d’indices filtrant à droite, on a

pour démontrer cette formule, on remarquera que pour deux indices quelconques β, γ on a inf(x_α + y_α) ≤ x_β + y_γ).

b) Soient A un ensemble filtré par un filtre $\mathfrak{B}$, f une application de A dans E; on dit que f a une limite suivant $\mathfrak{B}$, pour la structure d’ordre de E, si f($\mathfrak{B}$) est la base d’un filtre borné ayant une limite dans E (pour la structure d’ordre). Montrer que si A est un ensemble ordonné filtrant, f une application croissante de A dans E, majorée dans A, f a une limite suivant le filtre des sections de A, égale à sup_{x∈A} f(x).

c) Soient (E_i) une famille d’espaces complètement réticulés, E l’espace complètement réticulé produit des E_i. Pour que sur E un filtre borné $\mathscr{P}$ soit convergent pour la structure d’ordre, il faut et il suffit que pour tout i, le filtre de base pr_i($\mathscr{P}$) soit convergent dans E_i; si a_i est sa limite, a = (a_i) est alors la limite de $\mathscr{P}$.