Bài tập 9, § 1

Cho E là một không gian có thứ tự dàn đầy đủ. Một lọc $\mathscr{F}$ trên E được gọi là bị chặn trên (tương ứng bị chặn dưới, bị chặn) nếu có một tập hợp thuộc $\mathscr{F}$ bị chặn trên (tương ứng bị chặn dưới, bị chặn). Đối với một lọc $\mathscr{F}$ bị chặn trên (tương ứng dưới), giới hạn trên (tương ứng giới hạn dưới) của $\mathscr{F}$, ký hiệu $\limsup \mathscr{F}$ (tương ứng $\liminf \mathscr{F}$), được định nghĩa là phần tử $\inf_X (\sup X)$ (tương ứng $\sup_X (\inf X)$) của E, trong đó X chạy trên tập hợp các tập hợp thuộc $\mathscr{F}$ bị chặn trên (tương ứng bị chặn dưới). Nếu $\mathscr{F}$ bị chặn, thì $\liminf \mathscr{F} \leq \limsup \mathscr{F}$; $\mathscr{F}$ được gọi là có một giới hạn, hoặc là hội tụ, đối với cấu trúc cấp của E, nếu $\limsup \mathscr{F} = \liminf \mathscr{F}$; giá trị chung của hai phần tử này khi đó được ký hiệu là $\lim \mathscr{F}$, và $\mathscr{F}$ được gọi là hội tụ đến phần tử này của E. Nếu một lọc bị chặn có một giới hạn, thì mọi lọc mịn hơn đều có cùng giới hạn (đối với cấu trúc cấp).

a) Để một lọc bị chặn $\mathscr{F}$ có một giới hạn đối với cấu trúc cấp, điều kiện cần và đủ là $\inf_X (\sup X - \inf X) = 0$ khi X chạy trên tập hợp các phần tử bị chặn của $\mathscr{F}$ (có thể sử dụng sự kiện rằng nếu, trong E, $(x_\alpha)$ và $(y_\alpha)$ là hai họ giảm bị chặn dưới, có cùng tập hợp chỉ số có hướng phải, thì

để chứng minh công thức này, người ta nhận xét rằng $\inf(x_\alpha + y_\alpha) \leq x_\beta + y_\gamma$ đối với mọi cặp chỉ số $\beta, \gamma$.

b) Cho A là một tập hợp được lọc bởi một lọc $\mathscr{G}$, $f$ là một ánh xạ từ A vào E; $f$ được gọi là có một giới hạn đối với $\mathscr{G}$ theo cấu trúc cấp của E nếu $f(\mathscr{G})$ là một cơ sở của một lọc bị chặn có một giới hạn trong E (theo cấu trúc cấp). Hãy chứng minh rằng nếu A là một tập hợp có thứ tự có hướng và $f$ là một ánh xạ tăng từ A vào E bị chặn trên trên A, thì $f$ có một giới hạn đối với lọc tiết diện của A, bằng $\sup_{x \in A} f(x)$.

c) Cho $(E_\ell)$ là một họ các không gian có thứ tự dàn đầy đủ, E là không gian có thứ tự dàn đầy đủ tích của các $E_\ell$. Để một lọc bị chặn $\mathscr{F}$ trên E hội tụ theo cấu trúc cấp, điều kiện cần và đủ là, với mọi $\ell$, lọc có cơ sở $\mathrm{pr}_\ell(\mathscr{F})$ phải hội tụ trong $E_\ell$; nếu $a_\ell$ là giới hạn của nó, thì $a = (a_\ell)$ là giới hạn của $\mathscr{F}$.