Exercice 2, § 2

a) Soit $L$ une forme linéaire positive sur un espace de Riesz E. On considère un élément $a > 0$ de E, et l’ensemble des formes linéaires positives $M \leq L$ telles que: 1° $M(x) = L(x)$ pour tout $x$ tel que $0 \leq x \leq a$; 2° $M(x) = 0$ pour tout $x \geq 0$ étranger à $a$. Montrer que cet ensemble de formes linéaires positives admet un plus grand élément $L_a$, et que pour tout $x \geq 0$ on a $L_a(x) = \inf L(y)$, où $y$ parcourt l’ensemble de tous les éléments tels que $0 \leq y \leq x$ et que $x - y$ soit étranger à $a$. Montrer que pour tout scalaire $\lambda > 0$, on a $L_{\lambda a} = L_a$, et que si $a$ et $b$ sont étrangers, $L_{a+b} \leq L_a + L_b$. Si E est complètement réticulé, montrer que si $a$ et $b$ sont étrangers dans E, on a $L_{a+b} = L_a + L_b$.

b) On prend pour E l’espace de Riesz des fonctions numériques finies continues dans l’intervalle $I = (0, 1)$ de $\mathbf{R}$, et $L(x) = x(\frac{1}{2})$; montrer par un exemple que l’on peut avoir $L_{a+b} < L_a + L_b$ pour deux éléments étrangers $a, b$ de E.