Bài tập 2, § 2

a) Cho $L$ là một dạng tuyến tính dương trên không gian Riesz E. Xét một phần tử $a > 0$ của E và tập hợp các dạng tuyến tính dương $M \leq L$ sao cho: $1^\circ$ $M(x) = L(x)$ với mọi $x$ sao cho $0 \leq x \leq a$; $2^\circ$ $M(x) = 0$ với mọi $x \geq 0$ rời nhau với $a$. Chứng minh rằng tập hợp các dạng tuyến tính dương này có một phần tử lớn nhất $L_a$ và rằng, với mọi $x \geq 0$, $L_a(x) = \inf L(y)$, trong đó $y$ chạy trên tập hợp tất cả các phần tử sao cho $0 \leq y \leq x$ và $x - y$ rời nhau với $a$. Chứng minh rằng $L_{\lambda a} = L_a$ với mọi vô hướng $\lambda > 0$, và rằng nếu $a$ và $b$ rời nhau thì $L_{a+b} \leq L_a + L_b$. Nếu E là một không gian có thứ tự dàn đầy đủ, chứng minh rằng nếu $a$ và $b$ rời nhau trong E thì $L_{a+b} = L_a + L_b$.

b) Lấy E là không gian Riesz của các hàm liên tục nhận giá trị thực trên khoảng $I = [0, 1]$ của $\mathbf{R}$, và $L(x) = x(\frac{1}{2})$; hãy chỉ ra bằng một ví dụ rằng có thể có $L_{a+b} < L_a + L_b$ đối với hai phần tử $a, b$ rời nhau của E.