Exercice 8, § 2

Soient E un espace de Riesz, $(U_i)$ une famille de formes linéaires positives sur E. On considère sur E la topologie $\mathscr{T}$ définie par les semi-normes $U_i(|x|)$.

a) Montrer que le sous-espace H de E formé des x tels que $U_i(|x|) = 0$ pour tout i, est un sous-espace isolé de E (§ 1, exerc. 4); l’espace séparé associé à E est l’espace quotient E/H ; par passage au quotient, les $U_i$ définissent sur E/H des formes linéaires positives $\dot{U}_i$, et la topologie quotient sur E/H est définie par les semi-normes $\dot{U}_i(|\dot{x}|)$.

b) Montrer que dans l’espace E, l’application $x \mapsto |x|$ est uniformément continue et en déduire que, si la topologie $\mathscr{T}$ est séparée, elle est compatible avec la structure d’espace vectoriel ordonné de E.

c) On suppose que la topologie $\mathscr{T}$ est séparée et que E est complètement réticulé; montrer que dans E, toute bande B est fermée, et que, si B’ est la bande formée des éléments étrangers à tous les éléments de B, E est somme directe topologique de B et de B’.

d) On suppose que la topologie $\mathscr{T}$ est séparée. Soit $\hat{E}$ le complété de E ; si P est l’ensemble des éléments $\geqslant 0$ de E, montrer que l’adhérence $\bar{P}$ de P dans $\hat{E}$ définit sur $\hat{E}$ une structure d’espace de Riesz (cf. § 1, no 2).

e) Si E est séparé et complet pour la topologie $\mathscr{T}$, montrer que pour qu’un ensemble $A \subset E$, filtrant pour la relation $\leqslant$, admette dans E une borne supérieure, il faut et il suffit que, pour tout indice i, $U_i(x)$ soit majorée dans A ; pour toute fonction numérique $f$ continue et croissante dans E, on a alors $\sup_{x \in A} f(x) = f(\sup A)$. En déduire que E est complètement réticulé.

f) On suppose que E est séparé et complet pour la topologie $\mathscr{T}$. Montrer que si un filtre $\mathfrak{F}$ sur E a une limite pour la structure d’ordre de E (§ 1, exerc. 9), il converge vers la même limite pour la topologie $\mathscr{T}$ (utiliser e)).