Bài tập 8, § 2

Cho E là một không gian Riesz, $(U_\iota)$ là một họ các dạng tuyến tính dương trên E. Ta xét tôpô $\mathscr{T}$ trên E được định nghĩa bởi các bán chuẩn $U_\iota(|x|)$.

a) Chứng minh rằng không gian con H của E tạo bởi các $x$ sao cho $U_\iota(|x|) = 0$ với mọi $\iota$ là một không gian con cô lập của E ($§ 1$, Exer. 4); không gian Hausdorff liên kết với E là không gian thương $E/H$; bằng cách chuyển qua thương, các $U_\ell$ xác định các dạng tuyến tính dương $\dot{U}_\ell$ trên $E/H$, và tôpô thương trên $E/H$ được định nghĩa bởi các bán chuẩn $\dot{U}_\ell(|x|)$.

b) Chứng minh rằng trong không gian $E$ ánh xạ $x \mapsto |x|$ là đều liên tục, và suy ra từ đó rằng nếu tôpô $\mathscr{T}$ là Hausdorff thì nó tương thích với cấu trúc không gian vectơ có thứ tự của $E$.

c) Giả sử rằng tôpô $\mathscr{T}$ là Hausdorff và rằng $E$ là dàn có thứ tự đầy đủ; chứng minh rằng mọi dải $B$ trong $E$ đều đóng, và rằng nếu $B'$ là dải tạo bởi các phần tử xa lạ với mọi phần tử của $B$, thì $E$ là tổng trực tiếp tôpô của $B$ và $B'$.

d) Giả sử rằng tôpô $\mathscr{T}$ là Hausdorff. Gọi $\widehat{E}$ là phần đầy đủ của $E$; nếu $P$ là tập hợp các phần tử $\geqslant 0$ của $E$, chứng minh rằng bao đóng $\overline{P}$ của $P$ trong $\widehat{E}$ xác định một cấu trúc không gian Riesz trên $\widehat{E}$ (cf. §1, No. 2).

e) Nếu $E$ là Hausdorff và đầy đủ đối với tôpô $\mathscr{T}$, chứng minh rằng để một tập hợp $A \subset E$, có hướng đối với quan hệ $\leqslant$, có một cận trên đúng trong $E$, điều kiện cần và đủ là, với mọi chỉ số $\ell$, $U_\ell(x)$ bị chặn trên trong $A$; với mọi hàm số liên tục, tăng $f$ trên $E$, khi đó ta có $\sup_{x \in A} f(x) = f(\sup A)$. Suy ra từ điều này rằng $E$ là dàn có thứ tự đầy đủ.

f) Giả sử rằng $E$ là Hausdorff và đầy đủ đối với tôpô $\mathscr{T}$. Chứng minh rằng nếu một lọc $\mathfrak{F}$ trên $E$ có một giới hạn đối với cấu trúc cấp của $E$ (§ 1, Exer.