Exercice 10, § 1

Soit $\Phi$ un filtre sur l’ensemble $\mathscr{M}_+(X)$ des mesures positives sur X. Montrer que si $\Phi$ est vaguement convergent, alors, pour toute partie compacte K de X, il existe un ensemble $M \in \Phi$ et un nombre $a_K > 0$ tels que l’on ait $|\mu(f)| \leq a_K \|f\|$ pour toute fonction $f \in \mathscr{H}(X, K; \mathbf{C})$ et toute mesure $\mu \in M$.