Exercice 11, § 1

a) Montrer que lorsqu’on munit $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ de la topologie quasi-forte (resp. de la topologie de la convergence strictement compacte, resp. de la topologie vague), la forme bilinéaire $(f, \mu) \mapsto \langle f, \mu \rangle$ est ($\mathfrak{S}, \mathfrak{T}$)-hypocontinue, où $\mathfrak{T}$ est l’ensemble des parties vaguement bornées de $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$, et où $\mathfrak{S}$ est l’ensemble des parties bornées de $\mathscr{H}(X; \mathbf{C})$ contenues dans un $\mathscr{H}(X, K; \mathbf{C})$ pour un K compact convenable (resp. l’ensemble des parties strictement compactes de $\mathscr{H}(X; \mathbf{C})$, resp. l’ensemble des parties finies de $\mathscr{H}(X; \mathbf{C})$) (cf. Esp. vect. top., chap. III, § 4, exerc. 7).

b) Pour toute partie compacte K de X, montrer que la forme bilinéaire $(f, \mu) \mapsto \langle f, \mu \rangle$ est continue dans $\mathscr{H}(X, K; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ lorsqu’on munit $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ de la topologie quasi-forte; elle est continue dans $\mathscr{H}(X, K; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}_+(X)$ quand on munit $\mathscr{M}_+(X)$ de la topologie vague (utiliser l’exerc. 10).

c) On suppose X paracompact et non compact. Montrer que la forme bilinéaire $(f, \mu) \mapsto \langle f, \mu \rangle$ n’est pas continue dans $\mathscr{H}(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}_+(X)$ lorsqu’on munit $\mathscr{M}_+(X)$ de la topologie forte (identique dans ce cas à la topologie quasi-forte).

d) Donner un exemple où X est compact et où la forme bilinéaire $(f, \mu) \mapsto \langle f, \mu \rangle$ n’est pas continue dans $C(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ lorsqu’on munit $C(X; \mathbf{C})$ de la topologie de la convergence compacte (Esp. vect. top., chap. IV, § 3, exerc. 2).