Exercice 14, § 1

a) Soit X un espace localement compact ayant une base dénombrable. Montrer que l’espace $\mathscr{M}_+(X)$, muni de la topologie vague, est métrisable.

b) Soit L l’ensemble des suites croissantes $(k_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ d’entiers $\geqslant 0$, tendant vers $+\infty$ avec $n$, et nulles pour $n \leqslant 0$ sauf pour un nombre fini de valeurs de $n$; soit P l’ensemble des classes d’équivalence formées des translatées $(k_{n+h})_{n \in \mathbf{Z}}$ d’une même suite $(k_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ ($h$ parcourant $\mathbf{Z}$); L et P sont non dénombrables. Soit X l’espace discret somme topologique de P et de $\mathbf{Z}$; soit H l’ensemble des mesures positives sur X définies de la façon suivante: pour tout $\alpha \in P$ et toute suite $g \in \alpha$, $v_{\alpha,g}$ est la mesure définie par la masse +1 au point $\alpha$, la masse 0 aux autres points de P, et la masse $g(n)$ en tout point $n \in \mathbf{Z}$; H est le cône engendré par les mesures $v_{\alpha,g}$. Soit alors $\mu$ la mesure sur X définie par la masse +1 en chaque point de P et la masse 0 en chaque point de $\mathbf{Z}$. Montrer que $\mu$ est vaguement adhérente à H mais n’est vaguement adhérente à aucune partie vaguement bornée de H. (Utiliser le fait que pour toute application $f$ de $\mathbf{Z}$ dans $\mathbf{N}$, il existe une suite croissante $(k_n) \in L$ telle que pour tout $h \in \mathbf{Z}$, $\lim_{n \to \infty} k_{n+h}/f(n) = +\infty$.)