Bài tập 14, § 1

a) Cho $X$ là một không gian compact địa phương với một cơ sở đếm được. Chứng minh rằng không gian $\mathscr{M}_+(X)$, được trang bị tôpô mơ hồ, là mêtric hóa được.

b) Cho $L$ là tập hợp các dãy tăng $(k_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ của các số nguyên $\geqslant 0$, tiến tới $+\infty$ cùng với $n$, và bằng không đối với $n \leqslant 0$ ngoại trừ một số hữu hạn giá trị của $n$; cho $P$ là tập hợp các lớp tương đương được tạo thành bởi các phép tịnh tiến $(k_{n+h})_{n \in \mathbf{Z}}$ của cùng một dãy $(k_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ (trong đó $h$ chạy trên $\mathbf{Z}$); $L$ và $P$ là không đếm được. Cho $X$ là không gian tổng tôpô rời rạc của $P$ và $\mathbf{Z}$; cho $H$ là tập hợp các độ đo dương trên $X$ được xác định theo cách sau: với mọi $\alpha \in P$ và mọi dãy $g \in \alpha$, $\nu_{\alpha, g}$ là độ đo được xác định bởi khối lượng $+1$ tại điểm $\alpha$, khối lượng $0$ tại các điểm khác của $P$, và khối lượng $g(n)$ tại mọi điểm $n \in \mathbf{Z}$; lấy $H$ là nón sinh bởi các độ đo $\nu_{\alpha, g}$. Bây giờ cho $\mu$ là độ đo trên $X$ được xác định bởi khối lượng $+1$ tại mỗi điểm của $P$ và khối lượng $0$ tại mỗi điểm của $\mathbf{Z}$. Chứng minh rằng $\mu$ thuộc bao đóng mơ hồ của $H$ nhưng không thuộc bao đóng mơ hồ của bất kỳ tập con bị chặn mơ hồ nào của $H$. (Hãy sử dụng sự kiện rằng với mọi ánh xạ $f$ của $\mathbf{Z}$ vào $\mathbf{N}$, tồn tại một dãy tăng $(k_n) \in L$ sao cho với mọi $h \in \mathbf{Z}$, $\lim_{n \to \infty} k_{n+h}/f(n) = +\infty$.)