Exercice 17, § 1

Pour toute mesure $\mu$ sur un espace localement compact $X$ et tout homéomorphisme $\sigma$ de $X$ sur lui-même, soit $\mu_\sigma$ la mesure $f \mapsto \mu(f \circ \sigma)$.

a) Montrer que l’on a $|\mu_\sigma| = |\mu|_\sigma$.

b) On munit $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ de la topologie vague et on désigne par $\mathscr{A}$ l’ensemble des endomorphismes continus de l’espace localement convexe $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$; on munit $\mathscr{A}$ de la topologie de la convergence uniforme dans les parties vaguement bornées de $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$. Soit $\Gamma$ le groupe des homéomorphismes de $X$ sur lui-même, muni de la topologie $\mathscr{T}_\beta$ définie dans Top. gén., chap. X, 2e éd., § 3, n° 5. Pour tout $\sigma \in \Gamma$, soit $A_\sigma$ l’application $\mu \mapsto \mu_\sigma$, qui appartient à $\mathscr{A}$; montrer que l’application $\sigma \mapsto A_\sigma$ de $\Gamma$ dans $\mathscr{A}$ est continue.