Bài tập 17, § 1

Với mọi độ đo $\mu$ trên một không gian tôpô địa phương compact $X$ và mọi tự đồng phôi $\sigma$ của $X$ lên chính nó, đặt $\mu_\sigma$ là độ đo $f \mapsto \mu(f \circ \sigma)$.

a) Chứng minh rằng $|\mu_\sigma| = |\mu|_\sigma$.

b) Trang bị $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ tôpô yếu và ký hiệu bởi $\mathscr{A}$ tập hợp các tự đồng cấu liên tục của không gian lồi địa phương $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$; trang bị $\mathscr{A}$ tôpô hội tụ đều trên các tập con bị chặn theo tôpô yếu của $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$. Gọi $\Gamma$ là nhóm các tự đồng phôi của X lên chính nó, được trang bị tôpô $\mathscr{T}_\beta$ xác định trong GT, X, §3, No. 5. Với mọi $\sigma \in \Gamma$, gọi $A_\sigma$ là ánh xạ $\mu \mapsto \mu_\sigma$, thuộc về $\mathscr{A}$; chứng minh rằng ánh xạ $\sigma \mapsto A_\sigma$ từ $\Gamma$ vào $\mathscr{A}$ là liên tục.