Exercice 3, § 1

Dans l’exemple de l’exerc. 2, on prend pour $Y$ l’espace discret $\mathbf{N}$. Pour tout $n \in \mathbf{N}$, soit $e_n$ la fonction de $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ telle que $e_n(n) = 1$ et $e_n(x) = 0$ pour $x \neq n$ dans $X$. Montrer que l’ensemble $A$ formé des fonctions 0 et $e_n/(n+1)$ est compact dans $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$, mais non strictement compact. Si $\mathscr{U}$ est l’ultrafiltre sur $\mathbf{N}$ induit par le filtre des voisinages de $\omega$ dans $\beta Y = \beta \mathbf{N}$, montrer que suivant $\mathscr{U}$, la famille des mesures positives $(n \varepsilon_n)$ tend vers 0 uniformément dans tout ensemble strictement compact de $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$, mais ne tend pas uniformément vers 0 dans $A$.