Bài tập 3, § 1

Trong ví dụ của Bài tập 2, lấy cho Y không gian rời rạc $\mathbf{N}$. Với mọi $n \in \mathbf{N}$, hãy gọi $e_n$ là hàm trong $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ sao cho $e_n(n) = 1$ và $e_n(x) = 0$ với $x \neq n$ trong X. Chứng minh rằng tập hợp A tạo bởi các hàm 0 và $e_n/(n+1)$ là compact trong $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$, nhưng không compact nghiêm ngặt. Nếu $\mathfrak{U}$ là siêu lọc trên $\mathbf{N}$ cảm sinh bởi lọc các lân cận của $\omega$ trong $\beta Y = \beta \mathbf{N}$, hãy chứng minh rằng, đối với $\mathfrak{U}$, họ các độ đo dương $(n \varepsilon_n)$ tiến tới 0 đều trên mọi tập con compact nghiêm ngặt của $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$, nhưng không tiến tới 0 đều trong A.