Exercice 6, § 1

Soit $\mu$ une mesure sur un espace localement compact $X$. Montrer que l’on a $|\mu| = \sup \mathscr{R}(\alpha \mu)$ lorsque le scalaire $\alpha$ parcourt l’ensemble des nombres complexes de valeur absolue $\leq 1$. (Observer que pour toute fonction $g \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$, et tout $\varepsilon > 0$, il existe un nombre fini d’applications $h_i$ de $X$ dans $[0, 1]$, de supports compacts, et des scalaires $\alpha_i$ tels que l’on ait $\|g - \sum_i \alpha_i h_i\| \leq \varepsilon$ et $\| |g| - \sum_i |\alpha_i| h_i \| \leq \varepsilon$).

Montrer que l’on a aussi $|\mu| = \sup \mathscr{R}(h.\mu)$, lorsque $h$ parcourt l’ensemble des fonctions de $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ telles que $\|h\| \leq 1$.