Bài tập 6, § 1

Cho $\mu$ là một độ đo trên một không gian địa phương compact X. Chứng minh rằng $|\mu| = \sup \mathscr{R}(\alpha \mu)$, trong đó vô hướng $\alpha$ chạy trên tập hợp các số phức có giá trị tuyệt đối $\leq 1$. (Nhận xét rằng với mọi hàm $g \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ và mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một số hữu hạn các ánh xạ $h_i$ của X vào $[0,1]$, có giá đỡ compact, và các vô hướng $\alpha_i$ sao cho $\|g - \sum_i \alpha_i h_i\| \leq \varepsilon$ và $\| |g| - \sum_i |\alpha_i| h_i \| \leq \varepsilon .$)

Chứng minh rằng cũng có $|\mu| = \sup \mathscr{R}(h \cdot \mu)$, trong đó $h$ chạy trên tập hợp các hàm trong $\mathscr{H}(X; \mathbf{C})$ sao cho $\|h\| \leq 1$.