Exercice 2, § 4

a) Soit $X$ l’intervalle $[0, 1]$ de $\mathbf{R}$; montrer que si $(a_k)_{1 \leqslant k \leqslant n}$ est une suite finie quelconque d’éléments de $X$ deux à deux distincts, les $n$ fonctions $|x - a_k|$ ($1 \leqslant k \leqslant n$) sont linéairement indépendantes. En déduire que la fonction continue $|x - y|$ définie dans $X \times X$, n’est pas de la forme $\sum_{i=1}^n u_i(x)v_i(y)$, où les $u_i$ et $v_i$ sont continues.

b) Pour toute mesure $\mu \in \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$, on pose $f_\mu(y) = \int |x - y| d\mu(x)$. Montrer que l’application linéaire $\mu \mapsto f_\mu$ de $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ dans $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ est injective, a pour image un sous-espace vectoriel partout dense $L$ de $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$, et est continue mais non bicontinue pour les topologies d’espace normé sur $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ et $L$. (Observer que $L$ contient les constantes et les fonctions linéaires par morceaux).

c) Soient $u_i$ ($1 \leq i \leq m$) $m$ fonctions quelconques de $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ et soit $V$ le sous-espace vectoriel de $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ orthogonal aux $u_i$, qui est donc de codimension $\leq m$ dans $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$. Montrer que si $B$ est l’ensemble des mesures $\mu$ sur $X$ telles que $\| \mu \| \leq 1$, il existe des mesures $\mu \in B$ et $v \in V$ telles que $\int f_\mu(y) dv(y)$ soit arbitrairement grand (utiliser b)). En déduire que si l’on munit $B$, $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ et $\mathscr{M}(X \times X; \mathbf{C})$ de la topologie vague, l’application $(\mu, v) \mapsto \mu \otimes v$ de $B \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ dans $\mathscr{M}(X \times X; \mathbf{C})$ n’est pas continue.