Bài tập 2, § 4

(a) Cho X là khoảng $[0, 1]$ của $\mathbf{R}$; hãy chứng minh rằng nếu $(a_k)_{1 \leqslant k \leqslant n}$ là một dãy hữu hạn gồm các phần tử từng đôi một phân biệt của X, thì n hàm $|x - a_k|$ ($1 \leqslant k \leqslant n$) là độc lập tuyến tính. Từ đó, suy ra rằng hàm liên tục $|x - y|$ xác định trên $X \times X$ không có dạng $\sum_{i=1}^n u_i(x)v_i(y)$, trong đó các $u_i$ và $v_i$ là liên tục.

(b) Với mọi độ đo $\mu \in \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$, đặt $f_\mu(y) = \int |x - y|\ d\mu(x)$. Hãy chứng minh rằng ánh xạ tuyến tính $\mu \mapsto f_\mu$ của $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ vào $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ là đơn ánh, có ảnh là một không gian con tuyến tính trù mật L của $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$, và liên tục nhưng không song liên tục đối với các tôpô của không gian định chuẩn trên $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ và L. (Nhận xét rằng L chứa các hàm hằng và các hàm tuyến tính từng đoạn.)

(c) Cho $u_i$ ($1 \leqslant i \leqslant m$) là các hàm bất kỳ trong $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ và cho V là không gian con tuyến tính của $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ trực giao với các $u_i$, do đó có đối chiều $\leqslant m$ trong $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$. Hãy chứng minh rằng nếu B là tập hợp các độ đo $\mu$ trên X sao cho $\| \mu \| \leqslant 1$, thì tồn tại các độ đo $\mu \in B$ và $\nu \in V$ sao cho $\int f_\mu(y)\ d\nu(y)$ lớn tùy ý (hãy sử dụng b)). Từ đó, suy ra rằng nếu B, $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ và $\mathscr{M}(X \times X; \mathbf{C})$ được trang bị tôpô yếu, thì ánh xạ $(\mu, \nu) \mapsto \mu \otimes \nu$ của $B \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ vào $\mathscr{M}(X \times X; \mathbf{C})$ không liên tục.