Exercice 5, § 4

Soient $(X_\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille infinie d’espaces compacts ; pour chaque $\lambda \in L$, soient $a_\lambda$ un point de $X_\lambda$ et $\mu_\lambda$ une mesure positive sur $X_\lambda$, de masse totale 1. Pour toute partie finie $J$ de $L$, soit $v(J)$ la mesure sur $X = \prod_{\lambda \in L} X_\lambda$, produit des mesures $\mu_\lambda$ pour $\lambda \in J$ et des mesures $\varepsilon_{a_\lambda}$ pour $\lambda \in L - J$. Montrer que, suivant l’ensemble filtrant des parties finies de $L$, la mesure $v(J)$ tend vaguement vers $\mu = \bigotimes_{\lambda \in L} \mu_\lambda$ mais ne tend pas fortement vers $\mu$.