Bài tập 5, § 4

Cho $(X_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ vô hạn các không gian compact; với mỗi $\lambda \in L$, cho $a_\lambda$ là một điểm của $X_\lambda$ và cho $\mu_\lambda$ là một độ đo dương trên $X_\lambda$ có khối lượng toàn phần bằng 1. Với mỗi tập con hữu hạn $J$ của $L$, cho $\nu(J)$ là độ đo trên $X = \prod_{\lambda \in L} X_\lambda$ là tích của các độ đo $\mu_\lambda$ với $\lambda \in J$ và các độ đo $\varepsilon_{a_\lambda}$ với $\lambda \in L - J$. Chứng minh rằng, đối với tập có hướng gồm các tập con hữu hạn của $L$, độ đo $\nu(J)$ hội tụ mơ hồ đến $\mu = \bigotimes_{\lambda \in L} \mu_\lambda$ nhưng không hội tụ mạnh đến $\mu$.